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波函数

粒子的波函数\(\Psi(x,t)\)（一维）或 \(\Psi(\boldsymbol{r}, t)\)（三维）是复域函数，不能直接平方。而应该用模平方\(|\Psi(\boldsymbol{r}, t)|^2 \equiv \Psi^* \Psi\)。\(\Psi\)的共轭复数是\(\Psi^{*}\)。全空间的概率密度积分为1，即\(\int \Psi^* \Psi dV = 1\)

量子力学的基本假设

粒子的波函数\(\Psi(\boldsymbol{r},t) = \psi_0 e^{i(\boldsymbol{k\cdot r}-wt)}\)

能量、动量变换\(E\) -> \(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\)， \(\boldsymbol{P}\) -> \(-i\hbar \nabla\)

薛定谔方程一般形式

薛定谔方程一般形式： \[ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\boldsymbol{r}) \right] \Psi(\boldsymbol{r}, t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\boldsymbol{r}, t) \] 其对应粒子质量\(m\)，动量\(\boldsymbol{p}\)，在势场\(V(\boldsymbol{r})\)中的粒子能量表达式： \[ E = \frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} + V(\boldsymbol{r}) \]

薛定谔方程为线性微分方程，所以方程的解可以线性叠加，波函数是方程的解，所以波函数可以线性叠加

定态薛定谔方程

\(V(\boldsymbol{r})\)不显含时间t，可以用变数分离法求薛定谔方程特解。令\(\Psi(\boldsymbol{r}, t) = \psi(\boldsymbol{r})T(t)\) 两边除以\(\psi T\)得到 \[ \frac{1}{\psi} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\boldsymbol{r}) \right]\psi = \frac{i\hbar}{T} \frac{dT}{dt} \] 令\(E\)为分离常数，其具有能量量纲，与\(\boldsymbol{r},t\)无关 \[ \frac{i\hbar}{T} \frac{dT}{dt} = E \tag{1} \] \[ \frac{1}{\psi} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\boldsymbol{r}) \right]\psi = E \tag{2} \] 解\((1)\)得\(T=T_0e^{-iEt/\hbar}\)。把常数\(T_0\)归到\(\psi\)中，\(\Psi(\boldsymbol{r}, t) = \psi(\boldsymbol{r})e^{-iEt/\hbar}\)。

概率密度\(\Psi^*\Psi = \psi^*\psi\)与时间无关

式\((2)\)就是定态薛定谔方程 \[ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\boldsymbol{r}) \right]\psi = E\psi \]