量子力学的符号与算符

前言

博主研0，刚开始接触里德堡原子微波测量。知网上的硕士毕业论文里有很多量子光学相关的公式推导。这些原理性的东西其实实验中一般不会去仔细推敲，都是在已有基础上玩点新花样。但是即便如此，博主还是想至少看得懂公式中各种符号的含义，减少以后写论文时产生的原则性错误。非常推荐看birdsong-mayflower.github.io 的量子力学笔记，对初学者很友好。博主在这只是抄一些定义。

狄拉克符号

\(\ket{\psi}\)为使用狄拉克符号表示的波函数\(\psi\)，这个形式称作右矢(ket)。

以一维无限深方势阱中的能量本征态为例。

设：

\[ \ket{\psi_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix}, \ket{\psi_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix}, \ket{\psi_n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ . \\ . \\ . \\ n \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \]

\[ \ket{\psi_n} = \psi_n(x) = \sqrt{ \frac{2}{a} } \sin \frac{n\pi}{a} x \]

那么对于任意的量子态\(\lambda = \sum_n c_n \psi_n\)，可以写作： \[ \ket{\lambda} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \]

与右矢对应的是左矢(bra)，右矢是列向量，左矢是行向量

如果 \[ \ket{\psi} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

那么 \[ \bra{\psi} = (2, 1) \]

厄米共轭

一个矩阵的厄米共轭定义：对矩阵取转置，然后对矩阵中所有元素取复共轭。

厄米共轭记号(latex中用 \dagger，短剑的意思)：

\[ \hat{A}^{\dagger} \]

对于波函数： \[ \ket{\psi}^{\dagger} = \bra{\psi} \]

厄米算符

算符的矩阵形式取其厄米共轭后保持不变的算符，称为厄米算符。

\[ \hat{A}^{\dagger} = \hat{A} \]

算符对易关系

算符的作用顺序不同结果未必相同。

算符作用顺序：式\(\hat{A}\hat{B}\hat{C}\ket{\psi}\)中，先\(\hat{C}\)，再\(\hat{B}\)，最后\(\hat{A}\)。

对易符号 \[ \left[ \hat{A} , \hat{B} \right] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \]

当 \[ \left[ \hat{A} , \hat{B} \right] = 0 \] \(\hat{A}\)和\(\hat{B}\)是对易算符。

未完待续

以上内容远远不够，以后慢慢更新吧